不等式的應(yīng)用
不等式的應(yīng)用
| 不等式與各個(gè)數(shù)學(xué)分支都有密切的聯(lián)系，利用“大于”、“小于”關(guān)系，以及不等式一系列的基本性質(zhì)能夠解決許多有趣的問題，本講主要結(jié)合例題介紹一下這方面的應(yīng)用． 例1 已知x＜0，-1＜y＜0，將x，xy，xy2按由小到大的順序排列． 分析 用作差法比較大小，即若a-b＞0，則a＞b；若a-b＜0，則a＜b． 解 因?yàn)?/font>x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，則x＜xy． 因?yàn)?/font>xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy． 因?yàn)?/font>x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2． 綜上有x＜xy2＜xy． 例2 若 試比較A，B的大小．
顯然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B． 例3 若正數(shù)a，b，c滿足不等式組 試確定a，b，c的大小關(guān)系． 解①+c得 ②+a得 ③+b得 由④，⑤得 同理，由④，⑥得b＜C． 所以a，b，c的大小關(guān)系為b＜c＜a． 例4 當(dāng)k取何值時(shí)，關(guān)于x的方程 分別有(1)正數(shù)解；(2)負(fù)數(shù)解；(3)不大于1的解． 解 將原方程變形為(3+k)x=2． (1)當(dāng) 3+k＞0，即 k＞-3時(shí)，方程有正數(shù)解． (2)當(dāng)3+k＜0，即k＜-3時(shí)，方程有負(fù)數(shù)解． (3)當(dāng)方程解不大于1時(shí)，有 所以1+k，3+k應(yīng)同號(hào)，即
得解為 k≥-1或k＜-3． 注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。 例5已知 求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．
｜x-1｜-｜x+3｜
達(dá)到最大值4．結(jié)合x＜-3時(shí)的情形，得到：在已 說明 對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的問題，無法統(tǒng)一處理．一般情況下，是將實(shí)數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間，分別進(jìn)行討論，即可脫去絕對(duì)值符號(hào)． 例6 已知x，y，z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足 求u=5x+4y+2z的最大值和最小值． 解 將已知的兩個(gè)等式聯(lián)立成方程組 所以①+②得 將y=40-2x代入①可解得 因?yàn)?/font>y，z均為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以 解得 10≤x≤20． 于是 當(dāng)x值增大時(shí)，u的值減??；當(dāng)x值減小時(shí)，u的值增大．故當(dāng)x=10時(shí)，u有最大值130；當(dāng)x=20時(shí)，u有最小值120． 例7 設(shè)a，b，c，d均為整數(shù)，且關(guān)于x的四個(gè)方程 的根都是正數(shù)，試求a可能取得的最小值是多少？ 解 由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因?yàn)?/font>a，b均為整數(shù)，所以a-2b也為整數(shù)，所以 同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以 故a可能取得的最小值為2433．
求pq的值． 解 由已知
所以 21q＜30p＜22q． 因?yàn)?/font>p，q都為自然數(shù)，所以當(dāng)q分別等于1，2，3，4，5，6時(shí)，無適當(dāng)?shù)?/font>p值使21q＜30p＜22q成立．當(dāng)q＝7時(shí)，147＜30p＜154，取p=5可使該不等式成立．所以q最小為7，此時(shí)p=5．于是 pq=5×7=35． 例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求證： b＜a． 分析與證明 要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì)，按照一定的邏輯順序來展開推理論證． 因?yàn)?/font>b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1，所以由1＜a得1+a＜2a，所以 即b＜a成立．
分析與解 由題設(shè)可知x≥1，y≥2，z≥3，所以 又x≥3時(shí)， 也不成立，故x只能為2． 當(dāng)x=2時(shí)， 令y=3，則z=6． 當(dāng) x=2，y≥4時(shí)， 不成立． 故本題只有一組解，即x=2，y=3，z=6． 例11 某地區(qū)舉辦初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，有A，B，C，D四所中學(xué)參加，選手中， A， B兩校共16名；B，C兩校共 20名； C， D兩校共34名，并且各校選手人數(shù)的多少是按A，B，C，D中學(xué)的順序選派的，試求各中學(xué)的選手人數(shù)． 解 設(shè)A，B，C，D四校的選手人數(shù)分別為x，y，z，u．據(jù)題意有 由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人數(shù)的多少是按A，B，C，D四校的順序選派的，所以有x＜y＜z＜u． 由①與x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②與y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因?yàn)槿藬?shù)是整數(shù))．將y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23． 故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．
注意到x只能取1，2，3，4，…，9這九個(gè)數(shù)字，所以x=2，所以 所以y=1，z=4． 所以x=2，y=1，z=4． 1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四個(gè)代數(shù)式 (1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy； (3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy 中哪一個(gè)的值最大？ 2．不等式10(x+4)+x＜62的正整數(shù)解是方程 3．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值． 4．已知x，y，z都為自然數(shù)，且x＜y，當(dāng)x+y=1998，z-x=2000時(shí)，求x+y+z的最大值． 5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，試證：x＞0，y＞0，z＞0． 能值之和是多少？ |