第三屆青少年數(shù)學國際城市邀請賽

第三屆青少年數(shù)學國際城市邀請賽

菲律賓  大雅市

ThirdInvitationalWorldYouthMathematicsInter-City Competition

Tagaytay City,

個人賽試題

考試時間: 2 小時

第一部份

填充題：共10小題，每小題6分〈請將各題正確的答案寫在試卷題后的空格內(nèi)，不必列出計算過程?！?font face="Times New Roman">.

Question 1

n 為整數(shù)，若1 + 2 + … + n的和恰等于一個三位數(shù)，且此三位數(shù)的每個數(shù)字皆相同。

試找出所有可能的n。

                                                                  答:

Question 2

五邊形 ABCDE〈如右圖〉中,

試求五邊形 ABCDE的面積。          

                                                                                                 答:

Question 3

若將一個6厘米 ´ 6厘米的正方形蓋在一個三角形上，則最多可蓋住此三角形 60% 的面積。反之，若將此三角形蓋在此正方形上，則最多可蓋住此正方形 的面積。試求這個三角形的面積。                                                          

                                                                                                                 答:                      平方厘米

Question 4

有一組連續(xù)的四個正整數(shù)，從小到大依次排列，第一個數(shù)是5的倍數(shù)；第二個數(shù)是7的倍數(shù)；第三個數(shù)是9的倍數(shù)；第四個數(shù)是11的倍數(shù)。試求此四個連續(xù)正整數(shù)。

                                                               答:

Question 5

在5時到6時之間，某人看表時，由于不慎將時針看成分針，造成他看到的時間比正確的時間早了57分鐘。試問正確時間是幾時幾分？

                                                                        答 :          時            分

Question 6

的內(nèi)切圓分別與三邊BC、CA、AB切于 D、E、F 。若內(nèi)切圓半徑為4，且 BD、 CE、AF 之長是連續(xù)整數(shù)。試求 的三邊長。

                                                                               答:                ，         ，        

Question 7

試求出所有的質(zhì)數(shù)P，使得下列方程組有整數(shù)解 ：

                                                                               答:

Question 8

解方程式:    

                                                                               答:

Question 9

化簡      

                                                                       答:

Question 10

設M = 1010101…01 ，其中數(shù)字1出現(xiàn)k次，N = 1001001001001。試求出最小的k值使得M能被N整除。

                                                                                                                                                                                   答:

第二部份

計算證明題，共三題，每題20分。〈請在題目下方空白處作答，必須列出詳細計算證明過程，部份解答給部份成績〉

Question 1

a、b為兩個相異的正實數(shù)，若 。

試證：

Question 2

試確定實數(shù)p的范圍，使得方程式  有兩個相異正實數(shù)解。

Question 3

銳角 的三邊長為 a、 b、 c且 。在三角形內(nèi)作正方形，使得正方形的四個頂點都在 的邊上。經(jīng)過這樣作出的正方形有三種可能〈例如：正方形有一個頂點在a邊上，有一個頂點在b邊上，有了二個頂點在c邊上〉。這三種可能作出的正方形中，那一個面積最大？請證明你的結(jié)果。