奧數(shù)習題及答案(1)
奧數(shù)習題及答案(1)
1. 桌子上放著6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子,那么至少翻轉多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?
2. 五(2)班部分學生參加學校舉辦的數(shù)學競賽,每張試卷有50道試題。評分標準是:答對一道給3分,不答的題,每道給1分,答錯一道扣1分。試問:這部分學生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)?
3. 把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)?試講出理由。
4. 在黑板上寫出三個整數(shù),然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和,這樣繼續(xù)操作下去,最后得到88,66,99。問:原來寫的三個整數(shù)能否是1,3,5?
5. 70個數(shù)排成一行,除了兩頭的兩個數(shù)以外,每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和,這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的:0,1,3,8,21,…問:最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
6. 如下圖所示,將1~12順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a(在1~12之間),那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3,就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置;a=11,就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置。問:a是多少時,可以走到7的位置?
7. 一個正方形果園里種有48棵果樹,加上右下角的一間小屋,整齊地排列成七行七列(見下圖)。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹,不重復也不遺漏(不許斜走),最后又回到小屋??梢宰龅絾??
答案
1. 解析:
至少3次。例如:
↑ | ↑ | ↑ | ↓ | ↓ | ↓ |
↑ | ↓ | ↓ | ↑ | ↑ | ↑ |
↓ | ↓ | ↑ | ↓ | ↓ | ↓ |
↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ |
2. 解析:
本題要求出這部分學生的總成績是不可能的,所以應從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯,得分或扣分都是奇數(shù),共有50道題,50個奇數(shù)相加減,結果是偶數(shù),所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù),所以這部分學生的總分必是偶數(shù)。
3. 解析:
假設在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù),5條直線上的紅圈總數(shù)就會是奇數(shù)(奇數(shù)乘以奇數(shù)仍是奇數(shù))。因為每個紅圈均在兩條直線上,所以按各條直線上的紅圈數(shù)計算和時,每個紅圈都被算了兩次,所以紅圈總數(shù)應是偶數(shù)。這就出現(xiàn)了矛盾。所以假設在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)是不可能的。
4. 解析:
如果原來寫的是1,3,5,那么從第一次改變后,三個數(shù)永遠是兩個奇數(shù)一個偶數(shù)。
5. 解析:
這行數(shù)的前面若干個數(shù)是:0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,…這些數(shù)的奇偶狀況是:偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,……從前到后按一偶二奇的順序循環(huán)出現(xiàn)。70÷3=23……1,第70個數(shù)是第24組數(shù)的第一個數(shù),是偶數(shù)。
6. 解析:
當1≤a≤6時,從a的位置順時針走a個數(shù)的位置,應到達
7. 解析:
不可能。
如上圖所示,△表示小木屋。守園人只能黑白相間地走,走過的第奇數(shù)棵樹是白的,第偶數(shù)棵樹是黑的,走過第48棵樹應是黑的,而黑樹與小木屋不相鄰,無法直接回到小木屋。