方程組的解法
方程組的解法
二元及多元(二元以上)一次方程組的求解,主要是通過同解變形進(jìn)行消元,最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決.所以,解方程組的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種,下面結(jié)合例題予以介紹. 例1 解方程組
解 將原方程組改寫為 由方程②得x=6+4y,代入①化簡(jiǎn)得 由③得 ④×3+⑤×4得 所以 y=-1. 將y=-1代入⑤,得z=2.將y=-1代入②,得x=2.所以 為原方程組的解. 說明 本題解法中,由①,②消x時(shí),采用了代入消元法;解④,⑤組成的方程組時(shí),若用代入法消元,無論消y,還是消z,都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù),計(jì)算較繁,而利用兩個(gè)方程中z的系數(shù)是一正一負(fù),且系數(shù)的絕對(duì)值較小,采用加減消元法較簡(jiǎn)單. 解方程組消元時(shí),是使用代入消元,還是使用加減消元,要根據(jù)方程的具體特點(diǎn)而定,靈活地采用各種方法與技巧,使解法簡(jiǎn)捷明快. 例2 解方程組 解法1 由①,④消x得 由⑥,⑦消元,得 解之得 將y=2代入①得x=1.將z=3代入③得u=4.所以 解法2 由原方程組得 所以 即x=-15+16x,解之得x=1.將x=1代入⑧得u=4.將u=4代入⑦得z=3.將z=3代入⑥得y=2.所以 為原方程組的解. 解法3 ①+②+③+④得 由⑤-(①+③)得 由①×2-④得 ?、?/font>+⑦得y=2.以下略. 說明 解法2很好地利用了本題方程組的特點(diǎn),解法簡(jiǎn)捷、流暢. 例3 解方程組 分析與解 注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系,可以先得到下面四個(gè)二元方程: ①+②得 ②+③得 ③+④得 ?、?/font>+⑤得 又①+②+③+④+⑤得 ⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以 為原方程組的解. 例4 解方程組 解法1 ①×2+②得 由③得 代入④得
為原方程組的解.
為原方程組的解. 說明 解法1稱為整體處理法,即從整體上進(jìn)行加減消元或代入消 為換元法,也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來代替原方程組中的“整體元”,從而簡(jiǎn)化方程組的求解過程. 例5 已知
分析與解 一般想法是利用方程組求出x,y,z的值之后,代入所求的代數(shù)式計(jì)算.但本題中方程組是由三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程組成的,因此無法求出x,y,z的確定有限解,但我們可以利用加減消元法將原方程組變形. ①-②消去x得 ①×3+②消去y得 ①×5+②×3消去z得
例6 已知關(guān)于x,y的方程組 分別求出當(dāng)a為何值時(shí),方程組(1)有唯一一組解;(2)無解;(3)有無窮多組解. 分析 與一元一次方程一樣,含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論,一般是通過消元,歸結(jié)為一元一次方程ax=b的形式進(jìn)行討論.但必須特別注意,消元時(shí),若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí),這個(gè)式子的值不能等于零. 解 由①得 將③代入②得 (1)當(dāng)(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1時(shí),方程④有 因而原方程組有唯一一組解. (2)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0時(shí),即a=-1時(shí),方程④無解,因此原方程組無解. (3)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時(shí),即a=2時(shí),方程④有無窮多個(gè)解,因此原方程組有無窮多組解. 例7 已知關(guān)于x,y的二元一次方程 當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí),就有一個(gè)方程,而這些方程有一個(gè)公共解,試求出這個(gè)公共解. 解法1 根據(jù)題意,可分別令a=1,a=-2代入原方程得到一個(gè)方程組 將x=3,y=-1代入原方程得 所以對(duì)任何a值 說明 取a=1為的是使方程中(a-1)x=0,方程無x項(xiàng),可直接求出y值;取a=-2的道理類似. 解法2 可將原方程變形為 由于公共解與a無關(guān),故有 例8 甲、乙兩人解方程組
原方程的解. 分析與解 因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程①中的a,所以甲所得到的解 解由③,④聯(lián)立的方程組得 所以原方程組應(yīng)為 1.解方程組
2.若x1,x2,x3,x4,x5滿足方程組
試確定3x4+2x5的值. 3.將式子3x2+2x-5寫成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,試求 4.k為何值時(shí),方程組 5.若方程組 |